Matematica by SAGGIN s.r.l.

Capitolo 1

Studio di funzioni

Parità

f(−x) = f(x) → pari (sim. asse y) | f(−x) = −f(x) → dispari (sim. origine)

Dominio (C.E.)

Trova dove la funzione esiste. Denominatore ≠ 0, argomento log > 0, radice pari ≥ 0, ecc.

Segno — f(x) > 0

Studia quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) e quando è negativa.

Intersezioni con gli assi

Con asse x: f(x) = 0. Con asse y: f(0) = ?

Limiti

Limiti a +∞ e −∞. Limiti nei punti esclusi dal dominio → da destra e da sinistra.

Asintoti

Orizzontali (y = c), verticali (x = c), obliqui (y = mx + q)

Punti di discontinuità

3 specie: I (salto), II (essenziale/infinito), III (eliminabile)

Derivata prima f′(x)

Calcola f′(x) con le regole di derivazione

f′(x) = 0 e segno di f′

Zeri → massimi, minimi, flessi orizzontali. Segno → crescenza/decrescenza

Derivata seconda f″(x)

f″ > 0 → concavo ∪ | f″ < 0 → convesso ∩ | flessi obliqui

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Disegno finale

Riporta ogni informazione sul grafico subito dopo averla trovata.

Regola d'oro: riporta ogni dato sul grafico immediatamente dopo averlo trovato. Non aspettare la fine.

Passo 1

Parità della funzione

Calcola f(−x) e confrontala con f(x).

Funzione PARI

f(−x) = f(x)

Simmetrica rispetto all'asse y.
Basta studiare x ≥ 0 e specchiare.

simmetria rispetto a y

Funzione DISPARI

f(−x) = −f(x)

Simmetrica rispetto all'origine.
Basta studiare x ≥ 0 e ruotare di 180°.

simmetria rispetto all'origine

Se f(−x) ≠ f(x) e f(−x) ≠ −f(x) → né pari né dispari. Nessuna simmetria.

Passo 2

Dominio — Campo di Esistenza (C.E.)

Frazione

B(x) ≠ 0

Risolvi B(x) = 0 e escludi quei valori.

Radice pari √

A(x) ≥ 0

Il contenuto deve essere ≥ 0.
Radice pari al denominatore: A(x) > 0.

Radice dispari ∛

x ∈ ℝ

Nessun limite. Al denominatore: A(x) ≠ 0.

Logaritmo

f(x) > 0

L'argomento deve essere strettamente positivo.

Esponenziale aˢ

Dominio di s

Calcola il dominio dell'esponente. Base a > 0 e a ≠ 1.

sin / cos

x ∈ ℝ

Seno e coseno esistono per tutti i reali.

tan(x)

x ≠ π/2 + kπ

Escludi dove il coseno è zero.

|x| valore assoluto

x ∈ ℝ

Sempre definito, nessun limite.

Passo 3

Studio del segno — f(x) > 0

Stai cercando dove il grafico è sopra l'asse x e dove è sotto.

Come fare

Risolvi f(x) > 0
Disegna uno schema dei segni con gli zeri e i segni tra di essi
Tieni conto del C.E.: fuori dal dominio non scrivi nulla
Per frazioni: studia segno di numeratore e denominatore separatamente

Regola dei segni

Frazione N/D

+ / + = + − / − = +
+ / − = − − / + = −

Fai la tabella degli zeri di N e D.

Sul grafico

Segno positivo → curva sopra asse x

Segnati gli intervalli dove f > 0 direttamente sul grafico.

Passo 4

Intersezioni con gli assi

Asse x

f(x) = 0

Risolvi f(x) = 0. Ogni soluzione è un punto (x₀, 0). Deve stare nel dominio!

Asse y

f(0) = ?

Se 0 ∈ dominio → il punto è (0, f(0)).
Se 0 ∉ dominio → nessuna intersezione.

Riporta i punti trovati subito sul grafico. Sono dati certi.

Passo 5

Limiti

Quando calcolare i limiti

Limiti a +∞ e −∞ — sempre, se il C.E. arriva all'infinito
Nei punti esclusi dal dominio — da destra (x→c⁺) e da sinistra (x→c⁻)

Limiti notevoli

I 3 limiti notevoli da sapere

lim x \to 0 sin x x = 1 lim x \to 0 1 - cos x x = 0 lim x \to \infty ⟨1 + 1 x ⟩ x = e

Forme indeterminate

Quando il limite non è immediato

∞ / ∞ — raccogli il grado maggiore
0 / 0 — semplifica / fattorizza
∞ − ∞ — porta a forma comune
0 · ∞ — riscrivi come 0/0 o ∞/∞
1^∞ → formula con e

Limite razionale a ∞

Dividi per x al grado massimo

Raccogli al numeratore e al denominatore il termine di grado più alto. Tutti gli altri tendono a 0.

lim x\to\infty 3x² + x x² - 5 = 31 = 3 \to asintoto orizzontale y = 3

Passo 6

Asintoti

Asintoto Orizzontale

y = c

lim x\to+\infty f(x) = L \to asintoto y = L lim x\to-\infty f(x) = M \to asintoto y = M

Se il limite è finito → asintoto. Se è ∞ → nessun asintoto orizzontale lì.

la curva si avvicina all'asintoto senza toccarlo (o toccandolo)

Asintoto Verticale

x = c

lim x\toc⁺ f(x) = \pm\infty oppure lim x\toc⁻ f(x) = \pm\infty

Basta che uno dei due limiti laterali sia infinito. Si trova nei punti fuori dal dominio.

la curva va all'infinito avvicinandosi a x = c

Asintoto Obliquo

y = mx + q

Esiste solo se il limite a ∞ non è finito e non è ∞ (grado numeratore = grado denominatore + 1).

m = lim x\to\infty f(x) x q = lim x\to\infty [ f(x) - mx ]

Se m = 0 → non è obliquo ma orizzontale
Calcola sempre m prima, poi q con m già trovato

Passo 7

Punti di discontinuità — 3 specie

Un punto x = c è di discontinuità quando la funzione non è continua in quel punto.

Prima specie

Discontinuità a salto

Il limite destro e sinistro esistono entrambi finiti, ma sono diversi tra loro.

lim x\toc⁻ f(x) = L₁, lim x\toc⁺ f(x) = L₂ con L₁ \neq L₂

la curva "salta" — L₁ ≠ L₂

Il salto vale |L₁ − L₂|. La funzione può o non può essere definita in c.

Seconda specie

Discontinuità essenziale

Almeno uno dei due limiti laterali è infinito o non esiste.

lim x\toc⁻ f(x) = \pm\infty oppure lim x\toc⁺ f(x) = \pm\infty

almeno un lato va a ∞ — coincide con l'asintoto verticale

Include i punti con asintoto verticale, ma anche funzioni che oscillano senza limite (come sin(1/x) per x→0).

Terza specie

Discontinuità eliminabile

Il limite esiste ed è finito, ma f(c) ≠ limite (o f(c) non è definita).

lim x\toc f(x) = L ma f(c) \neq L (o non esiste)

"buco" — il limite esiste ma f(c) è altrove o mancante

Si chiama "eliminabile" perché basta ridefinire f(c) = L per rendere la funzione continua.

Riepilogo rapido

Specie	Condizione	Eliminabile?
I — Salto	lim⁻ e lim⁺ esistono finiti ma ≠	No
II — Essenziale	Almeno un lim laterale = ∞ o non esiste	No
III — Eliminabile	lim esiste finito, ma f(c) ≠ lim	Sì

Passi 8–10 — Non ancora in programma (quarta)

Derivata — preview

Questi passi si studieranno più avanti. Visibili per chi vuole anticipare.

Passo 8 — f′(x)

Derivata prima

Regole base:
Prodotto: (fg)′ = f′g + fg′
Quoziente: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
Catena: [f(g)]′ = f′(g) · g′

Passo 9 — f′(x) = 0

Massimi, minimi, flessi orizzontali

Risolvi f′(x) = 0 → punti critici.
Schema frecce → ↑ crescente, ↓ decrescente.
↑→↓ = massimo, ↓→↑ = minimo.

Passo 10 — f″(x)

Derivata seconda — concavità

f″ > 0 → concavo ∪
f″ < 0 → convesso ∩
f″ = 0 → possibile flesso obliquo

Capitolo 2

Funzioni esponenziali e logaritmiche

f(x) = aˣ (con a > 0, a ≠ 1)

a > 1 (es. 2ˣ, eˣ, 10ˣ)

Esponenziale crescente

Passa sempre per (0 , 1)
x → +∞ : f → +∞ (sale ripido)
x → −∞ : f → 0 (asintoto y = 0)
Sempre > 0, mai tocca l'asse x
Dominio: ℝ | Codominio: (0, +∞)

cresce lentamente a sinistra, esplode a destra

0 < a < 1 (es. (½)ˣ)

Esponenziale decrescente

Passa sempre per (0 , 1)
x → +∞ : f → 0 (asintoto y = 0)
x → −∞ : f → +∞ (sale ripido)
È il ribaltamento orizzontale di a > 1
Sempre > 0, mai tocca l'asse x

esplode a sinistra, tende a 0 a destra

Proprietà algebriche

Regole dell'esponenziale

aˣ \cdot aʸ = aˣ⁺ʸ aˣ aʸ = aˣ⁻ʸ (aˣ)ʸ = aˣʸ a⁰ = 1 (per ogni a \neq 0) a⁻ˣ = 1 aˣ

Varianti grafiche — traslazioni

f(x) = aˣ + k

Traslazione verticale

Il grafico si sposta di k in su (k > 0) o in giù (k < 0).
L'asintoto diventa y = k.

f(x) = aˣ⁺ʰ

Traslazione orizzontale

Il grafico si sposta di h a sinistra (h > 0).
Il punto (0,1) diventa (−h, 1).

f(x) = −aˣ

Ribaltamento verticale

Grafico ribaltato sotto l'asse x. Sempre < 0.
Asintoto y = 0 (da sotto).

f(x) = a⁻ˣ

= (1/a)ˣ — decrescente

Riflessione rispetto all'asse y del grafico di aˣ.

f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

Il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
log_a(x) = y ⟺ aʸ = x

a > 1 (es. log₂, log₁₀, ln)

Logaritmo crescente

Passa per (1, 0) sempre
Passa per (a, 1)
x → 0⁺ : f → −∞ (asintoto x = 0)
x → +∞ : f → +∞ (lentamente)
Dominio: (0, +∞) | Codominio: ℝ

sale lentamente, va a −∞ avvicinandosi a x = 0

0 < a < 1

Logaritmo decrescente

Passa per (1, 0) sempre
x → 0⁺ : f → +∞
x → +∞ : f → −∞
Ribaltamento verticale del caso a > 1

va a +∞ vicino a x=0, scende a −∞ per x→+∞

Proprietà algebriche

Regole del logaritmo

log a (M \cdot N) = log a (M) + log a (N) log a M N = log a (M) - log a (N) log a (Mⁿ) = n \cdot log a (M) log a (a) = 1 log a (1) = 0 log a (aˣ) = x a log a (x) = x Cambio base: log a (x) = log b (x) log b (a)

Dominio — attenzione!

L'argomento deve essere > 0

Se hai log_a(g(x)), il C.E. è g(x) > 0.

Es: log(x²−4) → C.E.: x²−4 > 0 → |x| > 2 → x < −2 oppure x > 2

Varianti grafiche

f(x) = log_a(x) + k

Traslazione verticale

Si sposta di k in su/giù.
Il punto (1, 0) diventa (1, k).
Asintoto verticale rimane x = 0.

f(x) = log_a(x − h)

Traslazione orizzontale

Sposta di h a destra (h > 0).
Asintoto diventa x = h.
Dominio diventa x > h.

f(x) = log_a(−x)

Riflessione sull'asse y

Definita solo per x < 0.
Dominio: (−∞, 0). Asintoto: x = 0.

f(x) = |log_a(x)|

Valore assoluto

La parte negativa del grafico si ribalta sopra l'asse x.

Esponenziale aˣ

Punti fissi del grafico

Passa per (0, 1) sempre
Asintoto orizzontale: y = 0
Mai tocca asse x
Dominio: ℝ

Logaritmo log_a(x)

Punti fissi del grafico

Passa per (1, 0) sempre
Asintoto verticale: x = 0
Mai tocca asse y
Dominio: (0, +∞)

Simmetria — sono funzioni inverse

I grafici di aˣ e log_a(x) sono simmetrici rispetto alla retta y = x.

simmetrici rispetto alla retta y = x

Regole veloci da ricordare

Come riconoscere il comportamento

a > 1 → sia esponenziale che logaritmo crescenti
0 < a < 1 → entrambi decrescenti
Esponenziale cresce/decresce rapidamente, logaritmo lentamente

aˣ = aʸ ⟺ x = y log a (x) = log a (y) ⟺ x = y a > 1 aˣ > aʸ ⟺ x > y 0 < a < 1 aˣ > aʸ ⟺ x < y (senso cambia!)

Errori classici

log_a(x + y) ≠ log_a(x) + log_a(y) — non si può spezzare la somma nel log
log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y) ✓ — il prodotto si può
Disequazione con log: se a < 1, il verso della disuguaglianza si inverte
Il dominio del log è strettamente > 0, non ≥ 0